Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng...

$\left( {{5}^{b}}-1 \right)\left( a{{.2}^{b}}-5 \right)<0$
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{5}^{b}}-1>0 \\
& a{{.2}^{b}}-5<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b>0 \\
& b<{{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{a} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<b<{{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{a} \right)$
Để có đúng hai số nguyên $b$ thỏa mãn thì $2<{{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{a} \right)\le 3\Leftrightarrow \dfrac{5}{8}\le a<\dfrac{5}{4}$ $\Rightarrow a=1$ (có 1 giá trị $a$ ).
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{5}^{b}}-1<0 \\
& a{{.2}^{b}}-5>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b<0 \\
& b>{{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{a} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{a} \right)<b<0$
Để có đúng hai số nguyên $b$ thỏa mãn thì $-3\le {{\log }_{2}}\left( \dfrac{5}{a} \right)<-2\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}\le \dfrac{5}{a}<\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow 20<a\le 40$
$\Rightarrow a\in \left\{ 21;22;...;40 \right\}$ (có 20 giá trị $a$ ).
Vậy có tất cả 21 giá trị a thỏa mãn yêu cầu bài toán.