Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho tồn tại số thực $x$ thoả...

Điều kiện: $x+1>0\Leftrightarrow x>-1$
Đặt ${{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}=t\left( t>0 \right)$ do $a$ nguyên dương, khi đó phương trình trở thành:
${{2021}^{{{x}^{3}}-t}}\left( {{x}^{3}}+2020 \right)=t+2020$ $\Leftrightarrow {{2021}^{{{x}^{3}}}}\left( {{x}^{3}}+2020 \right)={{2021}^{t}}\left( t+2020 \right)$
Hàm số: $f\left( u \right)={{2021}^{u}}\left( u+2020 \right)\Rightarrow {f}'\left( u \right)={{2021}^{u}}.\ln 2021.\left( u+2020 \right)+{{2021}^{u}}>0$ với $u>0$
Nên hàm $f\left( u \right)$ đơn điệu mà $f\left( {{x}^{3}} \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}=t\Leftrightarrow {{x}^{3}}={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}$
Với $-1<x<0$ thì vế trái nhỏ hơn $0$ và vế phải lớn hơn $0$. Không tồn tại $x$ thỏa mãn.
Với $x>0$, ${{x}^{3}}={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}\Leftrightarrow \log x=\log \left( x+1 \right).\log a\Leftrightarrow \log a=\dfrac{\log x}{\log \left( x+1 \right)}$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{\log x}{\log \left( x+1 \right)}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\dfrac{\left[ \left( x+1 \right)\log \left( x+1 \right)-x\log x \right]}{\log \left( x+1 \right)x\left( x+1 \right)\ln 10}>0\text{ }\forall x>0$
Bảng biến thiên:
Để tồn tại $x$ thỏa mãn thì: $\log a<1\Leftrightarrow a<10$
Do $a$ nguyên dương, nên tồn tại $9$ giá trị $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.