Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để phương trình sau có ít nhất...

Điều kiện ,
Phương trình ban đầu tương đương
(*)
Đặt (1)
Suy ra
Phương trình (*) trở thành
(2)
Lấy (1) + (2) ta được

Xét hàm số với và ta có
với mọi
Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên
Mà suy ra

+ Nếu thay lại ta có (thỏa)
Suy ra nhận
+ Nếu , khi đó

Từ đó suy ra
Mà suy ra
Kết hợp 2 TH suy ra