Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để phương trình sau có ít nhất...

Điều kiện $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$, $x>0$
Phương trình ban đầu tương đương
${{\left( {{x}^{\log a}}+1 \right)}^{\log a}}+{{x}^{\log a}}=2x-2$ (*)
Đặt $t={{x}^{\log a}}+1$ (1)
Suy ra ${{x}^{\log a}}=t-1$
Phương trình (*) trở thành
${{t}^{\log a}}+t-1=2x-1\Leftrightarrow {{t}^{\log a}}+t=2x$ (2)
Lấy (1) + (2) ta được
${{t}^{\log a}}+2t={{x}^{\log a}}+2x$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{u}^{\log a}}+2u$ với $u>0$ và $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ ta có
${f}'\left( u \right)={{u}^{\log a-1}}.\log a+2>0$ với mọi $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$
Từ đó suy ra hàm số $f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Mà $f\left( t \right)=f\left( x \right)$ suy ra $t=x$
$\Rightarrow {{x}^{\log a}}+1=x\Leftrightarrow {{a}^{\log x}}=x-1$
+ Nếu $x=1$ thay lại ta có ${{a}^{\log 2}}=1\Leftrightarrow {{2}^{\log a}}=1\Leftrightarrow \log a=0\Leftrightarrow a=1$ (thỏa)
Suy ra nhận $a=1$
+ Nếu $x>1$, khi đó
${{a}^{\log x}}=x-1\Leftrightarrow {{x}^{\log a}}=x-1\Leftrightarrow \ln {{x}^{\log a}}=\ln \left( x-1 \right)\Leftrightarrow \log a=\dfrac{\ln \left( x-1 \right)}{\ln x}<1$
Từ đó suy ra $\log a<1\Leftrightarrow 0<a<10$
Mà $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ suy ra $a\in \left\{ 1;2;3;...;9 \right\}$
Kết hợp 2 TH suy ra $a\in \left\{ 1;2;3;...;9 \right\}$