Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $\left[ -20;20 \right]$ sao cho hàm số $y=-2x+2+a\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}$ có cực đại?

Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Ta có $y'=-2+a.\dfrac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}}.$
$y''=a.\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}-\left( x-2 \right).\dfrac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}}}{{{x}^{2}}-4x+5}$
$y''=a.\dfrac{{{x}^{2}}-4x+5-{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}}=\dfrac{1}{\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}}$
+ TH1: $a=0\Rightarrow y=-2x+2$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên hàm số không có cực đại $\Rightarrow a=0$ không thỏa mãn.
+ TH2: $a\ne 0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0\Rightarrow y'>0 \\
& a<0\Rightarrow y'<0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Hàm số đã cho có cực đại $\Leftrightarrow a<0$ và phương trình $y'=0$ có nghiệm.
Đặt $t=x-2$ ta có $y'=0\Leftrightarrow -2+a.\dfrac{t}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}=0\Leftrightarrow at=2\sqrt{{{t}^{2}}+1}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\le 0 \\
& {{a}^{2}}{{t}^{2}}=4{{t}^{2}}+4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\le 0 \\
& \left( {{a}^{2}}-4 \right){{t}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\le 0 \\
& {{t}^{2}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}-4}\left( a\ne \pm 2 \right) \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
$\Rightarrow $ Hệ phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}-4}\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a>2 \\
& a<-2 \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp điều kiện $a<0,a\in \left[ -20;20 \right]$ ta có $a\in \left[ -20;-2 \right).$
Mà $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{ -20;-19;-18;...;-3 \right\}$
Vậy có 18 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.