Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất 8 số nguyên $b\in (-8;8)$ thỏa mãn ${{4}^{{{a}^{2}}-2a-4+b}}\le {{3}^{b+a}}+2022$ ?
A. 5.
B. 4.
C. 6.
D. 7.
A. 5.
B. 4.
C. 6.
D. 7.
${{4}^{{{a}^{2}}-2a-4+b}}\le {{3}^{b+a}}+2022\Leftrightarrow {{3}^{a}}{{.3}^{b}}-{{4}^{{{a}^{2}}-2a-4}}{{.4}^{b}}+2022\ge 0\Leftrightarrow {{3}^{a}}.{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{b}}+2022{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{b}}-{{4}^{{{a}^{2}}-2a-4}}\ge 0$
Đặt $f\left( b \right)={{3}^{a}}.{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{b}}+2022{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{b}}-{{4}^{{{a}^{2}}-2a-4}}$, $b\in (-8,8),\ b\in \mathbb{Z}$.
${f}'\left( b \right)={{3}^{a}}.{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{b}}\ln \dfrac{3}{4}+2022{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{b}}\ln \dfrac{1}{4}<0,\forall b\in \left( -8;8 \right)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-8,8),b\in \mathbb{Z}$.
Yêu cầu bài toán $\Rightarrow f\left( 0 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{3}^{a}}+2022-{{4}^{{{a}^{2}}-2a-4}}\ge 0$.
Dùng máy tính ta được $a=-2,a=-1,a=0,a=1,a=2,a=3,a=4$.
Đặt $f\left( b \right)={{3}^{a}}.{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{b}}+2022{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{b}}-{{4}^{{{a}^{2}}-2a-4}}$, $b\in (-8,8),\ b\in \mathbb{Z}$.
${f}'\left( b \right)={{3}^{a}}.{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{b}}\ln \dfrac{3}{4}+2022{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{b}}\ln \dfrac{1}{4}<0,\forall b\in \left( -8;8 \right)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-8,8),b\in \mathbb{Z}$.
Yêu cầu bài toán $\Rightarrow f\left( 0 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{3}^{a}}+2022-{{4}^{{{a}^{2}}-2a-4}}\ge 0$.
Dùng máy tính ta được $a=-2,a=-1,a=0,a=1,a=2,a=3,a=4$.
Đáp án D.