Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất bốn số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ thỏa mãn ${{5}^{{{a}^{2}}+b}}\le {{4}^{b-a}}+26$ ?
A. $4$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $7$.
A. $4$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $7$.
Ta có ${{5}^{{{a}^{2}}+b}}\le {{4}^{b-a}}+26\Leftrightarrow {{5}^{{{a}^{2}}}}-{{4}^{-a}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}-26.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}\le 0\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( b \right)={{5}^{{{a}^{2}}}}-{{4}^{-a}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}-26.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$, và ${f}'\left( b \right)={{4}^{-a}}\ {{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}\ \ln \left( \dfrac{5}{4} \right)+26\ {{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}\ \ln 5>0$. Suy ra: $f\left( b \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có: * $f\left( 2-{{a}^{2}} \right)=\dfrac{{{5}^{2}}-{{4}^{2-a-{{a}^{2}}}}-26}{{{5}^{2-{{a}^{2}}}}}=\dfrac{-1-{{4}^{2-a-{{a}^{2}}}}}{{{5}^{2-{{a}^{2}}}}}<0$
* $f\left( 3-{{a}^{2}} \right)=\dfrac{{{5}^{3}}-{{4}^{3-a-{{a}^{2}}}}-26}{{{5}^{3-{{a}^{2}}}}}=\dfrac{99-{{4}^{3-a-{{a}^{2}}}}}{{{5}^{3-{{a}^{2}}}}}>0$
Do đó $b=2-{{a}^{2}}$ là số nguyên lớn nhất để $\left( * \right)$ đúng.
Theo đề: tồn tại ít nhất bốn số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$, ta xét: ${{b}_{1}}=-1-{{a}^{2}};b{_{2}}=-{{a}^{2}};{{b}_{3}}=1-{{a}^{2}};{{b}_{4}}=2-{{a}^{2}}$ và ${{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}},{{b}_{4}}\in \left( -10;10 \right)$
Suy ra: ${{a}^{2}}<9$ mà $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ 0;\pm 1;\pm 2 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên $a$ thỏa mãn đề bài.
Xét hàm số $f\left( b \right)={{5}^{{{a}^{2}}}}-{{4}^{-a}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}-26.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$, và ${f}'\left( b \right)={{4}^{-a}}\ {{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}\ \ln \left( \dfrac{5}{4} \right)+26\ {{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}\ \ln 5>0$. Suy ra: $f\left( b \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có: * $f\left( 2-{{a}^{2}} \right)=\dfrac{{{5}^{2}}-{{4}^{2-a-{{a}^{2}}}}-26}{{{5}^{2-{{a}^{2}}}}}=\dfrac{-1-{{4}^{2-a-{{a}^{2}}}}}{{{5}^{2-{{a}^{2}}}}}<0$
* $f\left( 3-{{a}^{2}} \right)=\dfrac{{{5}^{3}}-{{4}^{3-a-{{a}^{2}}}}-26}{{{5}^{3-{{a}^{2}}}}}=\dfrac{99-{{4}^{3-a-{{a}^{2}}}}}{{{5}^{3-{{a}^{2}}}}}>0$
Do đó $b=2-{{a}^{2}}$ là số nguyên lớn nhất để $\left( * \right)$ đúng.
Theo đề: tồn tại ít nhất bốn số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$, ta xét: ${{b}_{1}}=-1-{{a}^{2}};b{_{2}}=-{{a}^{2}};{{b}_{3}}=1-{{a}^{2}};{{b}_{4}}=2-{{a}^{2}}$ và ${{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}},{{b}_{4}}\in \left( -10;10 \right)$
Suy ra: ${{a}^{2}}<9$ mà $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ 0;\pm 1;\pm 2 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên $a$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.