Có bao nhiêu số nguyên $a\left( a\ge 2 \right)$ sao cho tồn tại số...

Cách giải:
Ta có: ${{\left( {{a}^{\log x}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{\log a}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2$
Đặt $b=\log a\Leftrightarrow a={{10}^{b}}.$ Vì $a\ge 2\Rightarrow b\ge \log 2>0.$
Phương trình đã cho trở thành:
${{\left( {{x}^{b}}+2 \right)}^{b}}=x-2\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{b}}+2 \right)}^{b}}+\left( {{x}^{b}}+2 \right)={{x}^{b}}+x\left( * \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{b}}+t$ ta có $f'\left( t \right)=b{{t}^{b-1}}+1>0\Rightarrow $ Hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{b}}+2=x\Leftrightarrow {{x}^{\log a}}=x-2\left( ** \right).$
Với $\log a\ge 1$ ta có đồ thị hàm số như sau:

$\Rightarrow $ Phương trình $\left( ** \right)$ vô nghiệm.
Với $\log a<1$ ta có đồ thị hàm số như sau:

$\Rightarrow $ Phương trình $\left( ** \right)$ có nghiệm $\Rightarrow $ Thỏa mãn.
$\Rightarrow \log a<1\Leftrightarrow a<10.$ Kết hợp điều kiện đề bài ta có $a\in \left\{ 2;3;4;...;9 \right\}.$
Vậy có 8 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.