Có bao nhiêu số nguyên $a\in \left( -2023;2023 \right)$ để phương...

+) ĐK: $\left\{ \begin{aligned}
& x+7>0 \\
& {{\log }_{2}}(x+7)\ne 0 \\
& {{5}^{x}}-1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-7 \\
& x\ne -6 \\
& x\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\in D=\left( -7;+\infty \right)\backslash \left\{ -6,0 \right\}.$
+) $\dfrac{1}{{{\log }_{2}}(x+7)}+\dfrac{1}{{{5}^{x}}-1}=x+a\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\log }_{2}}(x+7)}+\dfrac{1}{{{5}^{x}}-1}-x=a.$
+) Xét $f(x)=\dfrac{1}{{{\log }_{2}}(x+7)}+\dfrac{1}{{{5}^{x}}-1}-x$
$\Rightarrow f'(x)=\dfrac{-\left( {{\log }_{2}}(x+7) \right)'}{{{\log }^{2}}_{2}(x+7)}-\dfrac{\left( {{5}^{x}}-1 \right)'}{{{\left( {{5}^{x}}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-1}{(x+7)\ln 2.{{\log }^{2}}_{2}(x+7)}-\dfrac{{{5}^{x}}\ln 5}{{{\left( {{5}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-1<0\forall x\in D.$
+) Bảng biến thiên:
+) Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì $a<5.96$
$\Rightarrow a\in \left\{ -2022,-2021,...,5 \right\}$. Suy ra có 2028 giá trị.