Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a\in \left( -2023;2023 \right)$ để phương trình $\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+8 \right)}+\dfrac{1}{{{7}^{x}}-1}=x+a$ có $2$ nghiệm phân biệt?
A. $2028$.
B. $2016$.
C. $2027$.
D. $2015$.
A. $2028$.
B. $2016$.
C. $2027$.
D. $2015$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>-8 \\
& x\ne 0,x\ne -7 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow D=\left( -8;-7 \right)\cup \left( -7;0 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)$.
Xét hàm số
$f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+8 \right)}+\dfrac{1}{{{7}^{x}}-1}-x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{\left( x+8 \right)\ln 3.{{\log }_{3}}^{2}\left( x+8 \right)}-\dfrac{{{7}^{x}}\ln 7}{{{\left( {{7}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-1$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)<0\forall x\in D\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Bảng biến thiên:
Để phương trình $f\left( x \right)=a$ có $2$ nghiệm phân biệt và $a\in \mathbb{Z}$ thì: $a\in \left\{ 7;8;9;...;2022 \right\}$
Vậy có $2016$ giá trị $a$ nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
& x>-8 \\
& x\ne 0,x\ne -7 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow D=\left( -8;-7 \right)\cup \left( -7;0 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)$.
Xét hàm số
$f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+8 \right)}+\dfrac{1}{{{7}^{x}}-1}-x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{\left( x+8 \right)\ln 3.{{\log }_{3}}^{2}\left( x+8 \right)}-\dfrac{{{7}^{x}}\ln 7}{{{\left( {{7}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-1$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)<0\forall x\in D\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Bảng biến thiên:
Vậy có $2016$ giá trị $a$ nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.