Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên ${a\in \left[ -2019 ; 2019 \right]}$ để phương trình ${\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x-2 \right)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}=x+a}$ có hai nghiệm phân biệt?
A. ${2020}$.
B. ${2019}$.
C. ${2017}$.
D. ${2018}$.
A. ${2020}$.
B. ${2019}$.
C. ${2017}$.
D. ${2018}$.
Ta có: $\dfrac{1}{{{\log }_{3}}(x-2)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-3}=x+a\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\log }_{3}}(x-2)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-3}-x=a$
Điều kiện$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\log }_{3}}(x-2)\ne 0 \\
x-2>0 \\
{{3}^{x}}-1\ne 0 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x\ne 3 \\
x>2 \\
\end{array} \right. \right.$
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{{{\log }_{3}}(x-2)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}-x$ trên tập $D=(2;3)\cup (3;+\infty )$
Ta có: ${{f}^{\prime }}(x)=-\dfrac{1}{(x-2)\ln 2.{{\left[ {{\log }_{3}}(x-2) \right]}^{2}}}-\dfrac{{{3}^{x}}\ln 3}{{{\left( {{3}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-1<0,\forall x\in D$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thieencuar hàm số $y=f\left( x \right)$,ta có
$\text{Ycbt}\Leftrightarrow -2019\le a<-\dfrac{15}{8}$
Mà $=m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-2019,-2018,\ldots ,-2\}\Rightarrow -2-(-2019)+1=2018$ giá trị $a$ thỏa mãn bài toán.
Điều kiện$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\log }_{3}}(x-2)\ne 0 \\
x-2>0 \\
{{3}^{x}}-1\ne 0 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x\ne 3 \\
x>2 \\
\end{array} \right. \right.$
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{{{\log }_{3}}(x-2)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}-x$ trên tập $D=(2;3)\cup (3;+\infty )$
Ta có: ${{f}^{\prime }}(x)=-\dfrac{1}{(x-2)\ln 2.{{\left[ {{\log }_{3}}(x-2) \right]}^{2}}}-\dfrac{{{3}^{x}}\ln 3}{{{\left( {{3}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-1<0,\forall x\in D$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thieencuar hàm số $y=f\left( x \right)$,ta có
$\text{Ycbt}\Leftrightarrow -2019\le a<-\dfrac{15}{8}$
Mà $=m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-2019,-2018,\ldots ,-2\}\Rightarrow -2-(-2019)+1=2018$ giá trị $a$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.