. Có bao nhiêu số nguyên $a\in (-2019;2019)$ để...

Phương trình ${\displaystyle \frac{1}{\ln (x+5)}}+{\displaystyle \frac{1}{3^x-1}}=x+a\iff {\displaystyle \frac{1}{\ln (x+5)}}+{\displaystyle \frac{1}{3^x-1}}-x=a$
Đặt hàm số $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\ln (x+5)}}+{\displaystyle \frac{1}{3^x-1}}-x$ có tập xác định $D=(-5;-4)\cup (-4;0)\cup (0;\mathrm{\infty })$
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{-1}{(x+5){\ln }^2(x+5)}}-{\displaystyle \frac{3^x\ln 3}{{(3^x-1)}^2}}-1<0$
$\Rightarrow f\left(x\right)$ nghịch biến trên các khoảng của tập xác định.
Các giới hạn: $\underset{x\to -5^{+}}{lim}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3^{-5}-1}}+5={\displaystyle \frac{967}{242}},\underset{x\to -4^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to -4^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$
$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$.
Bảng biến thiên

Phương trình $f\left(x\right)=a$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $a\ge {\displaystyle \frac{967}{242}}$.
Do $\{\begin{array}{rl}& a\in \mathbb{Z}\\ & a\in (-2019;2019)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& a\in \mathbb{Z}\\ & a\in [4;2018]\end{array}$. Vậy có $2018-4+1=2015$ giá trị của a.