. Có bao nhiêu số nguyên $a\in \left( -2019;2019 \right)$ để...

Phương trình $\dfrac{1}{\ln \left( x+5 \right)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}=x+a\Leftrightarrow \dfrac{1}{\ln \left( x+5 \right)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}-x=a$
Đặt hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{\ln \left( x+5 \right)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}-x$ có tập xác định $D=\left( -5;-4 \right)\cup \left( -4;0 \right)\cup \left( 0;\infty \right)$
Ta có: ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-1}{\left( x+5 \right){{\ln }^{2}}\left( x+5 \right)}-\dfrac{{{3}^{x}}\ln 3}{{{\left( {{3}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-1<0$
$\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng của tập xác định.
Các giới hạn: $\underset{x\to -{{5}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{3}^{-5}}-1}+5=\dfrac{967}{242},\underset{x\to -{{4}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty ,\underset{x\to -{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $
$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty ,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $.
Bảng biến thiên

Phương trình $f\left( x \right)=a$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $a\ge \dfrac{967}{242}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& a\in \mathbb{Z} \\
& a\in \left( -2019;2019 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\in \mathbb{Z} \\
& a\in \left[ 4;2018 \right] \\
\end{aligned} \right. $. Vậy có $ 2018-4+1=2015$ giá trị của a.