Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a\in \left( 0;2022 \right)$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất mười số nguyên $b\in \left( -3;10 \right)$ thỏa mãn ${{2}^{b}}{{3}^{a}}+6560\le {{3}^{2{{a}^{2}}+b}}$ ?
A. $2021$.
B. $2019$.
C. $2018$.
D. $2020$.
Ta có: ${{2}^{b}}{{3}^{a}}+6560\le {{3}^{2{{a}^{2}}+b}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{b}}{{3}^{a}}+6560{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{b}}-{{3}^{2{{a}^{2}}}}\le 0$.
Đặt $f\left( b \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{b}}{{3}^{a}}+6560{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{b}}-{{3}^{2{{a}^{2}}}}$, bất phương trình trên có dạng $f\left( b \right)\le 0$, $b\in \left( -3;10 \right)$.
Ta có ${f}'\left( b \right)=\ln \left( \dfrac{2}{3} \right).{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{b}}{{3}^{a}}+6560{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{b}}\ln \left( \dfrac{1}{3} \right)<0$, $\forall b\in \left( -3;10 \right)$.
Do đó $f\left( b \right)$ nghịch biến trên $\left( -3;10 \right)$.
Khi đó $f\left( -3 \right)>f\left( -2 \right)>f\left( -1 \right)>f\left( 0 \right)>f\left( 1 \right)>...>f\left( 9 \right)$.
Để tìm được ít nhất $10$ giá trị $b$ nguyên thuộc $\left( -3;10 \right)$ thỏa mãn $f\left( b \right)\le 0$ thì $f\left( 0 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow $ ${{3}^{a}}+6560\le {{3}^{2{{a}^{2}}}}$.
Có $a$ nguyên, $a\in \left( 0;2022 \right)$ nên $a\ge 1$ suy ra $6563\le {{3}^{a}}+6560\le {{3}^{2{{a}^{2}}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a\ge \sqrt{\dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}6563}>2 \\
& a\le -\sqrt{\dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}6563}<-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $a\in \left\{ 3;4;5;...;2021 \right\}$ nên có $2019$ số nguyên $a$ thỏa yêu cầu bài toán.
A. $2021$.
B. $2019$.
C. $2018$.
D. $2020$.
Ta có: ${{2}^{b}}{{3}^{a}}+6560\le {{3}^{2{{a}^{2}}+b}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{b}}{{3}^{a}}+6560{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{b}}-{{3}^{2{{a}^{2}}}}\le 0$.
Đặt $f\left( b \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{b}}{{3}^{a}}+6560{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{b}}-{{3}^{2{{a}^{2}}}}$, bất phương trình trên có dạng $f\left( b \right)\le 0$, $b\in \left( -3;10 \right)$.
Ta có ${f}'\left( b \right)=\ln \left( \dfrac{2}{3} \right).{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{b}}{{3}^{a}}+6560{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{b}}\ln \left( \dfrac{1}{3} \right)<0$, $\forall b\in \left( -3;10 \right)$.
Do đó $f\left( b \right)$ nghịch biến trên $\left( -3;10 \right)$.
Khi đó $f\left( -3 \right)>f\left( -2 \right)>f\left( -1 \right)>f\left( 0 \right)>f\left( 1 \right)>...>f\left( 9 \right)$.
Để tìm được ít nhất $10$ giá trị $b$ nguyên thuộc $\left( -3;10 \right)$ thỏa mãn $f\left( b \right)\le 0$ thì $f\left( 0 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow $ ${{3}^{a}}+6560\le {{3}^{2{{a}^{2}}}}$.
Có $a$ nguyên, $a\in \left( 0;2022 \right)$ nên $a\ge 1$ suy ra $6563\le {{3}^{a}}+6560\le {{3}^{2{{a}^{2}}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a\ge \sqrt{\dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}6563}>2 \\
& a\le -\sqrt{\dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}6563}<-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $a\in \left\{ 3;4;5;...;2021 \right\}$ nên có $2019$ số nguyên $a$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.
