Có bao nhiêu số nguyên $a \in(-200 ; 200)$ để phương trình...

$
\text { Vì } e^x+e^{x+a}>0, \forall x \text { nên } \ln (1+x)>\ln (1+x+a) \Leftrightarrow 1+x>1+x+a \Leftrightarrow a<0 \text {. }
$
Điều kiện của phương trình là $\left\{\begin{array}{l}1+x>0 \\ 1+x+a>0\end{array} \Leftrightarrow x>-1-a, \forall a<0\right.$.
Phương trình ban đầu tương đương với $e^x+e^{x+a}-\ln (x+1)+\ln (x+a+1)=0$.
Xét hàm số $f(x)=e^x+e^{x+a}-\ln (x+1)+\ln (x+a+1)$.
Ta có
$
f^{\prime}(x)=e^x+e^{x+a}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+a+1}=e^x+e^{x+a}-\dfrac{a}{(x+1)(x+a+1)}>0 \forall a<0, \forall x>-a-1 .
$
Suy ra $f(x)$ đồng biến trên $(-1-a ;+\infty)$ với $\forall a<0$.
Ta có $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty ; \lim _{x \rightarrow-(a+1)^{+}} f(x)=-\infty$.
Bảng biến thiên:
$\Rightarrow f(x)=0$ luôn có một nghiệm thực duy nhất với mọi $a<0$.
Vì $a \in(-200 ; 200)$ nên có 199 số $a$ nguyên thỏa mãn.