Có bao nhiêu số nguyên $a$ để tồn tại số phức $z$ thỏa mãn $\left|...

Đặt $z=x+yi(x;y\in \mathbb{R})\Rightarrow \bar{z}=x-yi$.
Ta có $|z+\overline{z}|+|z-\overline{z}|=16\iff 2\left|x\right|+2\left|y\right|=16\iff \left|x\right|+\left|y\right|=8$
$\iff \{\begin{array}{rl}& x+y=8\left(d_1\right),khix\ge 0;y\ge 0\\ & x-y=8\left(d_2\right),khix\ge 0;y\le 0\\ & -x-y=8\left(d_3\right),khix\le 0;y\le 0\\ & -x+y=8\left(d_4\right),khix\le 0;y\ge 0\end{array}\left(1\right)$
Hay điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD như hình.
Lại có $|iz-4|=a\iff \{\begin{array}{rl}& a\ge 0\\ & |-y-4+xi|=a\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a\ge 0\\ & x^2+{(y+4)}^2=a^2\end{array}\left(2\right)$
TH1: nếu $a=0\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x=0\\ & y=-4\end{array}$ không thỏa mãn điều kiện (1) (loại).
TH2: Nếu $a>0$ điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm $I(0;-4)$ bán kính $a$.
Để tồn tại số phức $z$ thỏa cả hai điều kiện $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ thì hình vuông $ABCD$ và đường tròn $(I;a)$ phải có điểm chung
Do đó $d(I;d_3)\le a\le IA\iff 2\sqrt{2}\le a\le 12\stackrel{a\in \mathbb{Z}}{\Rightarrow }a\in \{3;4;5;...;12\}$
Vậy có 10 số nguyên thỏa mãn.