Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3...

Ta có $\Delta ={{\left( a-3 \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+a \right)=-3{{a}^{2}}-10a+9$.
Trường hợp 1: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow \dfrac{-5-2\sqrt{13}}{3}\le a\le \dfrac{-5+2\sqrt{13}}{3}$, phương trình có hai nghiệm thực.
Theo định lý Vi-ét, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=a-3 \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{a}^{2}}+a \\
\end{aligned} \right.$. Khi đó
${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow -4\left( {{a}^{2}}+a \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right.$ (nhận).
Trường hợp 2: $\Delta <0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a<\dfrac{-5-2\sqrt{13}}{3} \\
& a>\dfrac{-5+2\sqrt{13}}{3} \\
\end{aligned} \right.$, phương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp.
Giả sử ${{z}_{1}}=a-3+i\sqrt{-\Delta }$ là một nghiệm của phương trình, ta có ${{z}_{2}}=a-3-i\sqrt{-\Delta }$ là nghiệm còn lại.
Khi đó ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2\left( a-3 \right)$ và ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2i\sqrt{-\Delta }$ suy ra
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\sqrt{-\Delta }\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}+10a-9\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+16a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right.$ (nhận).
Vậy có $4$ số phức $z$ thỏa yêu cầu bài toán.