Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
Phương pháp:
- Tính $\Delta $ của phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$, giải bất phương trình $\Delta <0.$
- Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức thì hai nghiệm đó là số phức liên hợp của nhau, đặt ${{z}_{1}}=x+yi\Rightarrow {{z}_{2}}=x-yi$
- Giải phương trình $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ tìm mối quan hệ giữa $x$ và $y.$
- Giải phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ theo $a,\Delta $ tìm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}.$ Với mỗi trường hợp trên giải phương trình chứa căn tìm $a.$
Cách giải:
Xét phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ ta có:
$\Delta ={{\left( a-3 \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+a \right)=-3{{a}^{2}}-10a+9.$
Để phương trình có 2 nghiệm phức thì $-3{{a}^{2}}-10a+9<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a>\dfrac{-5+2\sqrt{13}}{3} \\
& a<\dfrac{-5-2\sqrt{13}}{3} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right).$
Vì ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ nên chúng là 2 số phức liên hợp. Do đó đặt ${{z}_{1}}=x+yi\Rightarrow {{z}_{2}}=z-yi.$
Theo bài ra ta có:
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow \left| x+yi+x-yi \right|=\left| x+yi-x+yi \right|$
$\Leftrightarrow \left| 2x \right|=\left| 2yi \right|$
$\Leftrightarrow \left| x \right|=\left| yi \right|$
$\Leftrightarrow \left| x \right|=\left| y \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=y \\
& x=-y \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{\left( a-3 \right)+\sqrt{\left| \Delta \right|i}}{2}=\dfrac{a-3}{2}+\dfrac{\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2}i \\
& {{z}_{1}}=\dfrac{\left( a-3 \right)-\sqrt{\left| \Delta \right|i}}{2}=\dfrac{a-3}{2}-\dfrac{\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $x=y\Rightarrow a-3=\sqrt{\left| \Delta \right|}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge 3 \\
& {{\left( a-3 \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}+10a-9 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge 3 \\
& 2{{a}^{2}}+16a-18-0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right.\left( ktm \right).$
TH2: $x=-y\Rightarrow 3-a=\sqrt{\left| \Delta \right|}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le 3 \\
& {{\left( a-3 \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}+10a-9 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le 3 \\
& 2{{a}^{2}}+16a-18=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right.\left( tm \right). $ Hai giá trị này của $ a $ thỏa mãn điều kiện $ \left( * \right)$.
Vậy có 2 số nguyên $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Tính $\Delta $ của phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$, giải bất phương trình $\Delta <0.$
- Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức thì hai nghiệm đó là số phức liên hợp của nhau, đặt ${{z}_{1}}=x+yi\Rightarrow {{z}_{2}}=x-yi$
- Giải phương trình $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ tìm mối quan hệ giữa $x$ và $y.$
- Giải phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ theo $a,\Delta $ tìm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}.$ Với mỗi trường hợp trên giải phương trình chứa căn tìm $a.$
Cách giải:
Xét phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ ta có:
$\Delta ={{\left( a-3 \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+a \right)=-3{{a}^{2}}-10a+9.$
Để phương trình có 2 nghiệm phức thì $-3{{a}^{2}}-10a+9<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a>\dfrac{-5+2\sqrt{13}}{3} \\
& a<\dfrac{-5-2\sqrt{13}}{3} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right).$
Vì ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ nên chúng là 2 số phức liên hợp. Do đó đặt ${{z}_{1}}=x+yi\Rightarrow {{z}_{2}}=z-yi.$
Theo bài ra ta có:
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow \left| x+yi+x-yi \right|=\left| x+yi-x+yi \right|$
$\Leftrightarrow \left| 2x \right|=\left| 2yi \right|$
$\Leftrightarrow \left| x \right|=\left| yi \right|$
$\Leftrightarrow \left| x \right|=\left| y \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=y \\
& x=-y \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{\left( a-3 \right)+\sqrt{\left| \Delta \right|i}}{2}=\dfrac{a-3}{2}+\dfrac{\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2}i \\
& {{z}_{1}}=\dfrac{\left( a-3 \right)-\sqrt{\left| \Delta \right|i}}{2}=\dfrac{a-3}{2}-\dfrac{\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $x=y\Rightarrow a-3=\sqrt{\left| \Delta \right|}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge 3 \\
& {{\left( a-3 \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}+10a-9 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge 3 \\
& 2{{a}^{2}}+16a-18-0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right.\left( ktm \right).$
TH2: $x=-y\Rightarrow 3-a=\sqrt{\left| \Delta \right|}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le 3 \\
& {{\left( a-3 \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}+10a-9 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le 3 \\
& 2{{a}^{2}}+16a-18=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right.\left( tm \right). $ Hai giá trị này của $ a $ thỏa mãn điều kiện $ \left( * \right)$.
Vậy có 2 số nguyên $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.