Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình $z^{2}-(a-3) z+a^{2}+a=0$ có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ ?
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Ta có $\Delta=-3 a^{2}-10 a+9$.
$+\mathrm{TH} 1: \Delta \geq 0$, phương trình có 2 nghiệm $z_{1,2}=\dfrac{a-3 \pm \sqrt{\Delta}}{2}$, khi đó
$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right| \Leftrightarrow|a-3|=|\sqrt{\Delta}| \Leftrightarrow(a-3)^{2}=\Delta \Leftrightarrow 4 a^{2}+4 a=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0 \\ a=-1\end{array}\right.$. Thỏa mãn điều kiện $\Delta \geq 0$.
$+\mathrm{TH} 2: \Delta<0$, phương trình có 2 nghiệm $z_{1,2}=\dfrac{a-3 \pm i \sqrt{-\Delta}}{2}$, khi đó
$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right| \Leftrightarrow|a-3|=|i \sqrt{-\Delta}| \Leftrightarrow(a-3)^{2}=-\Delta \Leftrightarrow 2 a^{2}+16 a-18=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=1 \\ a=-9\end{array}\right.$. Thỏa mãn điều kiện $\Delta<0$.
Vậy có 4 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$+\mathrm{TH} 1: \Delta \geq 0$, phương trình có 2 nghiệm $z_{1,2}=\dfrac{a-3 \pm \sqrt{\Delta}}{2}$, khi đó
$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right| \Leftrightarrow|a-3|=|\sqrt{\Delta}| \Leftrightarrow(a-3)^{2}=\Delta \Leftrightarrow 4 a^{2}+4 a=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0 \\ a=-1\end{array}\right.$. Thỏa mãn điều kiện $\Delta \geq 0$.
$+\mathrm{TH} 2: \Delta<0$, phương trình có 2 nghiệm $z_{1,2}=\dfrac{a-3 \pm i \sqrt{-\Delta}}{2}$, khi đó
$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right| \Leftrightarrow|a-3|=|i \sqrt{-\Delta}| \Leftrightarrow(a-3)^{2}=-\Delta \Leftrightarrow 2 a^{2}+16 a-18=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=1 \\ a=-9\end{array}\right.$. Thỏa mãn điều kiện $\Delta<0$.
Vậy có 4 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.