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Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a (a\ge 2)$ sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn
$\ln \left( {{a}^{\log {{x}^{4}}}}+4{{a}^{\log {{x}^{2}}}}+4 \right)=\dfrac{\ln (x-2)}{\log a}?$
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 9.
$\ln \left( {{a}^{\log {{x}^{4}}}}+4{{a}^{\log {{x}^{2}}}}+4 \right)=\dfrac{\ln (x-2)}{\log a}?$
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 9.
Ta có:
$\ln \left( {{a}^{\log {{x}^{4}}}}+4{{a}^{\log {{x}^{2}}}}+4 \right)=\dfrac{\ln \left( x-2 \right)}{\log a}\Leftrightarrow \ln \left( {{a}^{4\log x}}+4{{a}^{2\log x}}+4 \right)=\dfrac{\ln \left( x-2 \right)}{\log a}$
$\Leftrightarrow 2\ln \left( {{a}^{2\log x}}+2 \right)=\dfrac{\ln \left( x-2 \right)}{\log a}$
Đặt ${{a}^{2\log x}}+2=t\Rightarrow \log a.2\log x=\log \left( t-2 \right)\Rightarrow \log a=\dfrac{\log \left( t-2 \right)}{2\log x}$
$\Rightarrow \ln t.\ln \left( t-2 \right)=\ln x.\ln \left( x-2 \right)$
Xét hàm $f\left( u \right)=\ln u.\ln \left( u-2 \right)$
$\Rightarrow f'\left( u \right)=\dfrac{\ln \left( u-2 \right)}{u}+\dfrac{\ln u}{u-2}>0$
Do $t-2={{a}^{2\log x}}\ge {{2}^{2\log 2}}>1$
$\Rightarrow u=x\Rightarrow {{a}^{2\log x}}=x-2\Leftrightarrow x-{{x}^{2\log a}}=2\Rightarrow x>{{x}^{2\log a}}\Leftrightarrow 2\log a<1\Leftrightarrow \log a<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a<\sqrt{10}\Rightarrow a\in \left\{ 2;3 \right\}.$
$\ln \left( {{a}^{\log {{x}^{4}}}}+4{{a}^{\log {{x}^{2}}}}+4 \right)=\dfrac{\ln \left( x-2 \right)}{\log a}\Leftrightarrow \ln \left( {{a}^{4\log x}}+4{{a}^{2\log x}}+4 \right)=\dfrac{\ln \left( x-2 \right)}{\log a}$
$\Leftrightarrow 2\ln \left( {{a}^{2\log x}}+2 \right)=\dfrac{\ln \left( x-2 \right)}{\log a}$
Đặt ${{a}^{2\log x}}+2=t\Rightarrow \log a.2\log x=\log \left( t-2 \right)\Rightarrow \log a=\dfrac{\log \left( t-2 \right)}{2\log x}$
$\Rightarrow \ln t.\ln \left( t-2 \right)=\ln x.\ln \left( x-2 \right)$
Xét hàm $f\left( u \right)=\ln u.\ln \left( u-2 \right)$
$\Rightarrow f'\left( u \right)=\dfrac{\ln \left( u-2 \right)}{u}+\dfrac{\ln u}{u-2}>0$
Do $t-2={{a}^{2\log x}}\ge {{2}^{2\log 2}}>1$
$\Rightarrow u=x\Rightarrow {{a}^{2\log x}}=x-2\Leftrightarrow x-{{x}^{2\log a}}=2\Rightarrow x>{{x}^{2\log a}}\Leftrightarrow 2\log a<1\Leftrightarrow \log a<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a<\sqrt{10}\Rightarrow a\in \left\{ 2;3 \right\}.$
Đáp án A.