Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số dương m để giá trị lớn nhất của hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ trên đoạn $\left[ m+1;m+2 \right]$ bằng 53.
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
Hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-3$ vì $m>0$ nên ${y}'=3{{x}^{2}}-3>0,\forall x\in \left[ m+1;m+2 \right]$
Do đó hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ đồng biến trên đoạn
$\left[ m+1;m+2 \right]\Rightarrow \underset{\left[ m+1;m+2 \right]}{\mathop{max}} y=y\left( m+2 \right)={{\left( m+2 \right)}^{3}}-3\left( m+2 \right)+1.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{3}}-3\left( m+2 \right)+1=53\Rightarrow m=2.$
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-3$ vì $m>0$ nên ${y}'=3{{x}^{2}}-3>0,\forall x\in \left[ m+1;m+2 \right]$
Do đó hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ đồng biến trên đoạn
$\left[ m+1;m+2 \right]\Rightarrow \underset{\left[ m+1;m+2 \right]}{\mathop{max}} y=y\left( m+2 \right)={{\left( m+2 \right)}^{3}}-3\left( m+2 \right)+1.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{3}}-3\left( m+2 \right)+1=53\Rightarrow m=2.$
Đáp án D.