Có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng $\left( -9;9 \right)$ của...

Điều kiện $x\in \left( 0;1 \right)$
Bất phương trình $\Leftrightarrow x\sqrt{x}\le m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}$ (*)
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a=\sqrt{x} \\
& b=\sqrt{1-x} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& ab=\sqrt{x-{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right., $ ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& a+b\ge 2\sqrt{ab} \\
& ab=\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}-{{\left( \dfrac{1}{2}-x \right)}^{2}}}\le \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó (*) $\Leftrightarrow m\ge \dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{ab}=\dfrac{\left( a+b \right)\left( 1-ab \right)}{ab}\ge 2\dfrac{1-ab}{\sqrt{ab}}\ge 2\left( \sqrt{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2}.$
Bất phương trình (*) có nghiệm thực $\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\min }} \left( \dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{ab} \right)=\sqrt{2}.$
Vậy $m=\left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}\Rightarrow $ có 7 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.