Có bao nhiêu $m$ nguyên $m\in \left[ -2021;2021 \right]$ để phương...

Phương trình ${{6}^{x}}-2m={{\log }_{\sqrt[3]{6}}}\left( 18\left( x+1 \right)+12m \right)\Leftrightarrow {{6}^{x}}=2m+3{{\log }_{6}}\left[ 6\left( 3x+2m+3 \right) \right]$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{6}^{x}}=2m+3\left[ 1+{{\log }_{6}}\left( 3x+2m+3 \right) \right] \\
& \Leftrightarrow {{6}^{x}}=3{{\log }_{6}}\left( 3x+2m+3 \right)+2m+3, \left( * \right) \\
\end{aligned}$
Đặt $y={{\log }_{6}}\left( 3x+2m+3 \right)\Leftrightarrow {{6}^{y}}=3x+2m+3, \left( 1 \right)$
Mặt khác, PT(*) trở thành: ${{6}^{x}}=3y+2m+3, \left( 2 \right)$
Lấy (1) trừ vế với vế cho (2), ta được
${{6}^{y}}-{{6}^{x}}=3x-3y\Leftrightarrow {{6}^{x}}+3x={{6}^{y}}+3y \left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{6}^{t}}+3t, t\in \mathbb{R}.$
Ta có $f'\left( t \right)={{6}^{t}}\ln 6+3>0, \forall t\in \mathbb{R}.$ Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mà PT (3) $f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y.$
Thay $y=x$ vào PT (1), ta được ${{6}^{x}}=3x+2m+3\Leftrightarrow {{6}^{x}}-3x=2m+3$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{6}^{x}}-3x$, với $x\in \mathbb{R}$. Ta có $g'\left( x \right)={{6}^{x}}\ln 6-3\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{6}}\left( \dfrac{3}{\ln 6} \right)$
BBT:

Từ đó suy ra PT đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow 2m+3\ge g\left( {{\log }_{6}}\dfrac{3}{\ln 6} \right)\approx 0,81\Rightarrow m\ge -1,095$
Vậy có 2023 số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu.