Có bao nhiêu $m$ nguyên $m \in [- 2023; 2023]$ đề phương trình...

The Funny · 30/5/23

Câu hỏi: Có bao nhiêu

m

nguyên

m \in [- 2023; 2023]

đề phương trình

5^{x} - 2 m = \log_{\sqrt[4]{5}} (20 (x + 1) + 10 m)

có nghiệm?
A.

2026.

B.

2023.

C.

2025.

D.

2024.

5^{x} - 2 m = \log_{\sqrt[4]{5}} (20 (x + 1) + 10 m) \Leftrightarrow 5^{x} - 2 m - 4 = 4 \log_{5} (4 (x + 1) + 2 m) .

Đặt

t = \log_{5} (4 (x + 1) + 2 m) \Rightarrow 5^{t} - 2 m - 4 = 4 x .

Ta được hệ

{\begin{aligned} 5^{x} - 2 m - 4 = 4 t \\ 5^{t} - 2 m - 4 = 4 x \end{aligned} \Rightarrow 5^{x} - 5^{t} = 4 t - 4 x \Rightarrow 5^{x} + 4 x = 5^{t} + 4 t .

Đặt

f (u) = 5^{u} + 4 u \Rightarrow f^{'} (u) = 5^{u} . \ln 5 + 4 > 0, \forall u \in R .

Ta có

{\begin{aligned} f^{'} (u) > 0, \forall u \in R \\ f (x) = f (t) \end{aligned} \Rightarrow t = x .

Ta có

5^{x} - 2 m - 4 = 4 x . \Leftrightarrow 2 m = 5^{x} - 4 x - 4.

Đặt

h (x) = 5^{x} - 4 x - 4 \Rightarrow h^{'} (x) = 5^{x} \ln 5 - 4.

h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 5^{x} \ln 5 - 4 = 0 \Leftrightarrow 5^{x} = \frac{4}{\ln 5} \Leftrightarrow x = x_{1} = \log_{5} \frac{4}{\ln 5} \approx 0.566 .

Ta có bảng biến thiên của

y = h (x) .

Dựa vào bảng biến thiên để phương trình có nghiệm

2 m \geq - 3, 7733 \Rightarrow m \geq - 1, 886.

Do

{\begin{aligned} m \in [- 2023; 2023] \\ m \in Z \\ m \geq - 1, 886 \end{aligned} \Rightarrow

Số giá trị của

m

là

[2023 + 1] + 1 = 2025.

Đáp án C.

Có bao nhiêu m nguyên m∈[−2023;2023] đề phương trình...