Có bao nhiêu $m$ nguyên $m \in[-2023 ; 2023]$ đề phương trình...

${{5}^{x}}-2m={{\log }_{\sqrt[4]{5}}}(20(x+1)+10m)\Leftrightarrow {{5}^{x}}-2m-4=4{{\log }_{5}}(4(x+1)+2m).$
Đặt $t={{\log }_{5}}(4(x+1)+2m)\Rightarrow {{5}^{t}}-2m-4=4x.$
Ta được hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{5}^{x}}-2m-4=4t \\
& {{5}^{t}}-2m-4=4x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{5}^{x}}-{{5}^{t}}=4t-4x\Rightarrow {{5}^{x}}+4x={{5}^{t}}+4t.$
Đặt $f\left( u \right)={{5}^{u}}+4u\Rightarrow {f}'\left( u \right)={{5}^{u}}.\ln 5+4>0,\forall u\in \mathbb{R}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( u \right)>0,\forall u\in \mathbb{R} \\
& f\left( x \right)=f\left( t \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t=x. $ Ta có $ {{5}^{x}}-2m-4=4x.\Leftrightarrow 2m={{5}^{x}}-4x-4.$
Đặt $h\left( x \right)={{5}^{x}}-4x-4\Rightarrow {h}'\left( x \right)={{5}^{x}}\ln 5-4.$
${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{5}^{x}}\ln 5-4=0\Leftrightarrow {{5}^{x}}=\dfrac{4}{\ln 5}\Leftrightarrow x={{x}_{1}}={{\log }_{5}}\dfrac{4}{\ln 5}\approx 0.566.$
Ta có bảng biến thiên của $y=h\left( x \right).$
Dựa vào bảng biến thiên để phương trình có nghiệm $2m\ge -3,7733\Rightarrow m\ge -1,886.$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& m\in [-2023;2023] \\
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\ge -1,886 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Số giá trị của $ m $là $ \left[ 2023+1 \right]+1=2025.$