Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn...

Cách giải:
Xét $3{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow x\left( 3x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng xét dấu:

Khi đó ta xét các TH sau:
+ TH1: $m\le 0.$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{m}{\left( 3{{x}^{2}}-2x \right)dx}=\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)\left| \begin{aligned}
& m \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.={{m}^{3}}-{{m}^{2}}.$
Suy ra $I=m-10\Leftrightarrow {{m}^{3}}-{{m}^{2}}=m-10\Leftrightarrow m=-2\left( tm \right).$
+ TH2: $0<m<10.$
Khi đó $I\ge 0$ (do $\left| 3{{x}^{2}}-2x \right|\ge 0\forall x)$ và $m-10<0$ nên $0<m<10,$ không thỏa mãn.
+ TH3: $m>10.$
Khi đó
$I=\int\limits_{0}^{m}{\left| 3{{x}^{2}}-2x \right|dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{2}{3}}{-\left( 3{{x}^{2}}-2x \right)dx}+\int\limits_{\dfrac{2}{3}}^{m}{\left( 3{{x}^{2}}-2x \right)dx}$
$=-\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)\left| \begin{aligned}
& \dfrac{2}{3} \\
& m \\
\end{aligned} \right.+\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)\left| \begin{aligned}
& m \\
& \dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.={{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m+\dfrac{278}{27}=0$
Suy ra $I={{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m+10+\dfrac{8}{27}=m-10\Leftrightarrow {{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m+\dfrac{278}{27}=0.$
Ta có ${{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m+10+\dfrac{8}{27}=\left( m+2 \right)\left( {{m}^{2}}-3m+5 \right)+\dfrac{8}{27}>0,\forall m\ge 10.$
Suy ra trong trường hợp này không có $m$ thỏa mãn.