Có bao nhiêu giá trị thực âm của m để phương trình...

Ta có $\sqrt{m+\sqrt{m+{{x}^{2}}}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow m+\sqrt{m+{{x}^{2}}}={{x}^{4}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{m+{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt{m+{{x}^{2}}}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=2t+1>0$ ; $\forall t>0$.
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt{m+{{x}^{2}}} \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{m+{{x}^{2}}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow m+{{x}^{2}}={{x}^{4}}\Leftrightarrow m={{x}^{4}}-{{x}^{2}}=g\left( x \right)$ $\left( ** \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}$, có ${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-2x$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào BBT, để phương trình $\left( ** \right)$ có hai nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m=-\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$.