Có bao nhiêu giá trị thực âm của m để phương trình...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị thực âm của m để phương trình

\sqrt{m + \sqrt{m + x^{2}}} = x^{2}

có đúng 2 nghiệm thực?
A. 1.
B. 3.
C. Vô số.
D. 2.

Ta có

\sqrt{m + \sqrt{m + x^{2}}} = x^{2} \Leftrightarrow m + \sqrt{m + x^{2}} = x^{4} \Leftrightarrow {(\sqrt{m + x^{2}})}^{2} + \sqrt{m + x^{2}} = {(x^{2})}^{2} + x^{2}

(*)

Xét hàm số

f (t) = t^{2} + t

trên

(0; + \infty)

, có

f^{'} (t) = 2 t + 1 > 0

;

\forall t > 0

.
Suy ra

f (t)

là hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

nên

(*) \Leftrightarrow f (\sqrt{m + x^{2}}) = f (x^{2})

\Leftrightarrow \sqrt{m + x^{2}} = x^{2} \Leftrightarrow m + x^{2} = x^{4} \Leftrightarrow m = x^{4} - x^{2} = g (x)

(* *)

.
Xét hàm số

g (x) = x^{4} - x^{2}

, có

g^{'} (x) = 4 x^{3} - 2 x

;

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}

Dựa vào BBT, để phương trình

(* *)

có hai nghiệm thực phân biệt

\Leftrightarrow [\begin{aligned} m > 0 \\ m = - \frac{1}{4} \end{aligned}

.

Đáp án A.