Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-9;9) của tham số m để bất phương trình $3\log x\le 2\log \left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right)$ có nghiệm thực?
A. 6.
B. 7.
C. 10.
D. 11.
A. 6.
B. 7.
C. 10.
D. 11.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& 0<x<1 \\
& m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<x<1 \\
& m\sqrt{x}-\left( 1-x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<x<1 \\
& m>\dfrac{\left( 1-x \right)}{\sqrt{x}}>0 \\
\end{aligned} \right.$
Bất phương trình đã cho tương đương: $\log {{x}^{3}}\le \log {{\left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right)}^{2}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{x}^{3}}\le {{\left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right)}^{2}}\Leftrightarrow x\sqrt{x}\le \left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right) \\
& \Leftrightarrow m\ge \dfrac{x\sqrt{x}+\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x-{{x}^{2}}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}. \\
\end{aligned}$
Áp dụng bất đẳng thức Co si ta có:
$\left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\sqrt{1-x} \right)+\left( \dfrac{1-x}{\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)\ge 2\sqrt{x}+2\sqrt{1-x}$ (Dấu bằng xảy ra khi $x=\dfrac{1}{2}$ )
Vì vậy $m\ge \sqrt{x}+\sqrt{1-x}.$
Khảo sát hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$ trên $\left( 0;1 \right)$ ta được $f\left( x \right)\ge \sqrt{2}\approx 1;414.$
Do đó $m\ge \sqrt{2}.$ Vậy m có thể nhận được các giá trị 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
& 0<x<1 \\
& m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<x<1 \\
& m\sqrt{x}-\left( 1-x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<x<1 \\
& m>\dfrac{\left( 1-x \right)}{\sqrt{x}}>0 \\
\end{aligned} \right.$
Bất phương trình đã cho tương đương: $\log {{x}^{3}}\le \log {{\left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right)}^{2}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{x}^{3}}\le {{\left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right)}^{2}}\Leftrightarrow x\sqrt{x}\le \left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right) \\
& \Leftrightarrow m\ge \dfrac{x\sqrt{x}+\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x-{{x}^{2}}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}. \\
\end{aligned}$
Áp dụng bất đẳng thức Co si ta có:
$\left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\sqrt{1-x} \right)+\left( \dfrac{1-x}{\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)\ge 2\sqrt{x}+2\sqrt{1-x}$ (Dấu bằng xảy ra khi $x=\dfrac{1}{2}$ )
Vì vậy $m\ge \sqrt{x}+\sqrt{1-x}.$
Khảo sát hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$ trên $\left( 0;1 \right)$ ta được $f\left( x \right)\ge \sqrt{2}\approx 1;414.$
Do đó $m\ge \sqrt{2}.$ Vậy m có thể nhận được các giá trị 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Đáp án B.