Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-9; 9) của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm thực: $3\log x\le 2\log \left[ m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right]?$
A. 6.
B. 7.
C. 10.
D. 11.
A. 6.
B. 7.
C. 10.
D. 11.
HD: Điều kiện: $x\in \left( 0;1 \right)$. Bất phương trình $\Leftrightarrow x\sqrt{x}\le m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}\left( * \right).$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a=\sqrt{x} \\
& b=\sqrt{1-x} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& ab=\sqrt{x-{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right., $ khi đó $ \left( * \right)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{ab}=\dfrac{\left( a+b \right)\left( 1-ab \right)}{ab}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a+b\ge 2\sqrt{ab} \\
& ab=\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}-{{\left( \dfrac{1}{2}-x \right)}^{2}}}\le \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ \dfrac{\left( a+b \right)\left( 1-ab \right)}{ab}\ge 2.\dfrac{1-ab}{\sqrt{ab}}\ge 2.\left( \sqrt{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2}.$
Do đó, phương trình (1) có nghiệm thực $\Leftrightarrow m\ge \min \left\{ \dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{ab} \right\}=\sqrt{2}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a=\sqrt{x} \\
& b=\sqrt{1-x} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& ab=\sqrt{x-{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right., $ khi đó $ \left( * \right)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{ab}=\dfrac{\left( a+b \right)\left( 1-ab \right)}{ab}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a+b\ge 2\sqrt{ab} \\
& ab=\sqrt{x-{{x}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}-{{\left( \dfrac{1}{2}-x \right)}^{2}}}\le \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ \dfrac{\left( a+b \right)\left( 1-ab \right)}{ab}\ge 2.\dfrac{1-ab}{\sqrt{ab}}\ge 2.\left( \sqrt{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2}.$
Do đó, phương trình (1) có nghiệm thực $\Leftrightarrow m\ge \min \left\{ \dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{ab} \right\}=\sqrt{2}.$
Đáp án B.