Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-9; 9) của tham số m để...

The Knowledge · 17/2/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-9; 9) của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm thực:

3 \log x \leq 2 \log [m \sqrt{x - x^{2}} - (1 - x) \sqrt{1 - x}] ?

A. 6.
B. 7.
C. 10.
D. 11.

HD: Điều kiện:

x \in (0; 1)

. Bất phương trình

\Leftrightarrow x \sqrt{x} \leq m \sqrt{x - x^{2}} - (1 - x) \sqrt{1 - x} (*) .

Đặt

{\begin{aligned} a = \sqrt{x} \\ b = \sqrt{1 - x} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = 1 \\ a b = \sqrt{x - x^{2}} \end{aligned},

khi đó

(*) \Leftrightarrow m \geq \frac{a^{3} + b^{3}}{a b} = \frac{(a + b) (1 - a b)}{a b}

Ta có

{\begin{aligned} a + b \geq 2 \sqrt{a b} \\ a b = \sqrt{x - x^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{2} - x)}^{2}} \leq \frac{1}{2} \end{aligned}

suy ra

\frac{(a + b) (1 - a b)}{a b} \geq 2. \frac{1 - a b}{\sqrt{a b}} \geq 2. (\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} .

Do đó, phương trình (1) có nghiệm thực

\Leftrightarrow m \geq min {\frac{a^{3} + b^{3}}{a b}} = \sqrt{2} .

Đáp án B.