Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ -2019;2019 \right]$...

Xét hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}$
Điều kiện để hàm số xác định là $\left\{ \begin{aligned}
& x\ge 3 \\
& {{x}^{2}}+x-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{3}}}-\dfrac{3}{{{x}^{4}}}}}{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{m}{{{x}^{2}}}}=0$.
Do đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang $y=0$.
Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận thì phải có thêm 1 tiệm cận đứng. Vậy yêu cầu bài toán trở thành: Tìm điều kiện để phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0$ phải có 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 3.
Nhận xét phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0$ (1) nếu có nghiệm thì ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1$ do đó (1) luôn có ít nhất một nghiệm âm. Vậy điều kiện bài toán chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<0<3\le {{x}_{2}}\Leftrightarrow af(3)\le 0\Leftrightarrow m\ge 12$.
Theo đề bài $m\in \left[ -2019;2019 \right]$, m nguyên do đó $m\in \left[ 12;2019 \right]$.
Vậy có $(2019-12)+1=2008$ giá trị của m.