Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in \left[ 0;2021 \right]$ để phương trình ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=m$ có hai nghiệm phân biệt?
A. 2016
B. 2017
C. 2018
D. 2019
A. 2016
B. 2017
C. 2018
D. 2019
Đặt $t={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}};t>0$.
Phương trình đã cho trở thành $t+\dfrac{1}{t}=m$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\dfrac{1}{t}$ xác định và liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=1-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}$. Cho ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 1$.
Bảng biến thiên
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow m>2$.
Vậy $m\in \left\{ 3;4;5;...;2021 \right\}$ nên có 2019 giá trị thỏa mãn.
Phương trình đã cho trở thành $t+\dfrac{1}{t}=m$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\dfrac{1}{t}$ xác định và liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=1-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}$. Cho ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 1$.
Bảng biến thiên
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow m>2$.
Vậy $m\in \left\{ 3;4;5;...;2021 \right\}$ nên có 2019 giá trị thỏa mãn.
Đáp án D.