Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in [0;2021]$ để phương...

Đặt $t={(2+\sqrt{3})}^x;t>0$.
Phương trình đã cho trở thành $t+{\displaystyle \frac{1}{t}}=m$ (*)
Xét hàm số $f\left(t\right)=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}$ xác định và liên tục trên $(0;+\mathrm{\infty })$.
Ta có $f^{\prime }\left(t\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}$. Cho $f^{\prime }\left(t\right)=0\iff t=\pm 1$.
Bảng biến thiên

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt $\iff m>2$.
Vậy $m\in \{3;4;5;...;2021\}$ nên có 2019 giá trị thỏa mãn.