Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}\left( m-1 \right){{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-{{m}^{2}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ; +\infty \right)$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $1$.
+ TH 1: Nếu $m=1$ thì hàm số trở thành $y=-2x-1$ : Hàm số này luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
+ TH 2: Nếu $m\ne 1$ thì ta có: ${y}'=\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-3$.
Hàm số luôn nghịch biến trên $\left( -\infty ; +\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-1<0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( m-1 \right)\left( m-3 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& 2m-2\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<1$.
Kết hợp hai trường hợp ta được $m\le 1$.
Vậy có 2 giá trị $m$ cần tìm.
+ TH 2: Nếu $m\ne 1$ thì ta có: ${y}'=\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-3$.
Hàm số luôn nghịch biến trên $\left( -\infty ; +\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-1<0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( m-1 \right)\left( m-3 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& 2m-2\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<1$.
Kết hợp hai trường hợp ta được $m\le 1$.
Vậy có 2 giá trị $m$ cần tìm.
Đáp án B.