Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số $m$ để hàm số
$y=\dfrac{1}{3}\left( m-2 \right){{x}^{3}}-\left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x+{{m}^{2}}$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
$y=\dfrac{1}{3}\left( m-2 \right){{x}^{3}}-\left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x+{{m}^{2}}$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
Với $m=2$ : $y=-x+4$ luôn NB trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$. Do đó $m=2$ thỏa mãn.
Với $m\ne 2$ : Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left( m-2 \right){{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+m-3\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-2<0 \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)\left( m-3 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<2 \\
& \left( m-2 \right)\left( m-2-m+3 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<2$.
Vậy $m\le 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán, mà $m$ nguyên không âm. Do đó $m\in \left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow $ có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.
Với $m\ne 2$ : Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left( m-2 \right){{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+m-3\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-2<0 \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)\left( m-3 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<2 \\
& \left( m-2 \right)\left( m-2-m+3 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<2$.
Vậy $m\le 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán, mà $m$ nguyên không âm. Do đó $m\in \left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow $ có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án A.
