Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2018 để hàm số $y=2{{x}^{3}}+3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+6\left( m-2 \right)x+3$ nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3.
A. 2009.
B. 2010.
C. 2011.
D. 2012.
A. 2009.
B. 2010.
C. 2011.
D. 2012.
$y=2{{x}^{3}}+3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+6\left( m-2 \right)x+3$
$\Rightarrow {y}'=6{{x}^{2}}+6\left( m-1 \right)+6\left( m-2 \right)=6\left[ {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m-2 \right]$
${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1={{x}_{1}} \\
& x=2-m={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $-1=2-m\Leftrightarrow m=3$ thì ${y}'=6{{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (không thỏa mãn).
Nếu $m\ne 3$ thì phương trình ${y}'=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số nghịch biến có hai điểm cực trị và nó nghịch biến trong khoảng hai điểm đó.
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3
$\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|>3\Leftrightarrow \left| -1-2+m \right|>3\Leftrightarrow \left| m-3 \right|>3$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-3>3 \\
& m-3<-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>6 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 6;+\infty \right)$
Mà m nguyên dương và nhỏ hơn 2018 nên $m\in \left\{ 7;8;...;2017 \right\}$ hay có $2017-7+1=2011$ số m thõa mãn.
Note 90: Phương pháp chung
Hàm số nghịch biến khi ${y}'\le 0$ ( ${y}'=0$ với hữu hạn giá trị của x).
Tạm thức bậc 2 $a{{x}^{2}}+bx+c$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thì dấu của tam thức cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng nghiệm, dấu của tam thức trái dấu với a khi x nằm trong khoảng nghiệm.
$\Rightarrow {y}'=6{{x}^{2}}+6\left( m-1 \right)+6\left( m-2 \right)=6\left[ {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m-2 \right]$
${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1={{x}_{1}} \\
& x=2-m={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $-1=2-m\Leftrightarrow m=3$ thì ${y}'=6{{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (không thỏa mãn).
Nếu $m\ne 3$ thì phương trình ${y}'=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số nghịch biến có hai điểm cực trị và nó nghịch biến trong khoảng hai điểm đó.
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3
$\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|>3\Leftrightarrow \left| -1-2+m \right|>3\Leftrightarrow \left| m-3 \right|>3$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-3>3 \\
& m-3<-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>6 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 6;+\infty \right)$
Mà m nguyên dương và nhỏ hơn 2018 nên $m\in \left\{ 7;8;...;2017 \right\}$ hay có $2017-7+1=2011$ số m thõa mãn.
Note 90: Phương pháp chung
Hàm số nghịch biến khi ${y}'\le 0$ ( ${y}'=0$ với hữu hạn giá trị của x).
Tạm thức bậc 2 $a{{x}^{2}}+bx+c$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thì dấu của tam thức cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng nghiệm, dấu của tam thức trái dấu với a khi x nằm trong khoảng nghiệm.
Đáp án C.