Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để trên đồ thị hàm số $\left( {{C}_{m}} \right):y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x+2018$ có hai điểm nằm về hai phía của trục tung mà tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng $d:x+2y-5=0$ ?
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Gọi $A\left( {{x}_{1}};y\left( {{x}_{1}} \right) \right),B\left( {{x}_{2}};y\left( {{x}_{2}} \right) \right)$ là hai điểm thuộc $\left( {{C}_{m}} \right)$.
Do $A,B$ nằm về hai phía của trục tung nên ${{x}_{1}}{{x}_{2}}<0$.
Ta có: $y'={{x}^{2}}+2mx+2m-3$.
Mặt khác $d:x+2y-5=0\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$, tiếp tuyến tại $A,B$ vuông góc với
$d\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y'\left( {{x}_{1}} \right).\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-1 \\
& y'\left( {{x}_{2}} \right).\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{1}} \right)-2=y'\left( {{x}_{2}} \right)-2\Leftrightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình
$y'-2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+2m-5=0\ \ \ \left( * \right)$.
Điều kiện bài toán thỏa mãn (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '={{m}^{2}}-2m+5>0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-5<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<\dfrac{5}{2} $. Kết hợp $ m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}$.
Do $A,B$ nằm về hai phía của trục tung nên ${{x}_{1}}{{x}_{2}}<0$.
Ta có: $y'={{x}^{2}}+2mx+2m-3$.
Mặt khác $d:x+2y-5=0\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$, tiếp tuyến tại $A,B$ vuông góc với
$d\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y'\left( {{x}_{1}} \right).\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-1 \\
& y'\left( {{x}_{2}} \right).\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{1}} \right)-2=y'\left( {{x}_{2}} \right)-2\Leftrightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình
$y'-2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+2m-5=0\ \ \ \left( * \right)$.
Điều kiện bài toán thỏa mãn (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '={{m}^{2}}-2m+5>0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-5<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<\dfrac{5}{2} $. Kết hợp $ m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}$.
Đáp án C.