Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để trên đồ thị...

Gọi $A(x_1;y\left(x_1\right)),B(x_2;y\left(x_2\right))$ là hai điểm thuộc $\left(C_m\right)$.
Do $A,B$ nằm về hai phía của trục tung nên $x_1{x}_2<0$.
Ta có: $y^{\prime }=x^2+2mx+2m-3$.
Mặt khác $d:x+2y-5=0\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$, tiếp tuyến tại $A,B$ vuông góc với
$d\iff \{\begin{array}{rl}& y^{\prime }\left(x_1\right).(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-1\\ & y^{\prime }\left(x_2\right).(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-1\end{array}\iff y^{\prime }\left(x_1\right)-2=y^{\prime }\left(x_2\right)-2\iff x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình
$y^{\prime }-2=0\iff x^2+2mx+2m-5=0(\ast )$.
Điều kiện bài toán thỏa mãn (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu:
$\iff \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-2m+5>0\\ & x_1{x}_2=2m-5<0\end{array}\iff m<{\displaystyle \frac{5}{2}}$. Kết hợp $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m=\{1;2\}$.