. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực

x, y

thỏa mãn đồng thời

e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = 1 - 2 x - 2 y

và

\log_{5}^{2} (3 x + 2 y + 4) - (m + 6) \log_{5} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0

?
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 6.

Ta có

e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = 1 - 2 x - 2 y \Leftrightarrow e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = (x + 3 y - 9) - (3 x + 5 y - 10)

\Leftrightarrow e^{3 x + 5 y - 10} + (3 x + 5 y - 10) = e^{x + 3 y - 9} + (x + 3 y - 9)

\Leftrightarrow f (3 x + 5 y - 10) = f (x + 3 y - 9)

(1)
Với

f (t) = e^{t} + t .

Vì

f^{'} (t) = e^{t} + 1 > 0 \forall t \in R

nên

f (t)

là hàm số đồng biến trên R.
Do đó

(1) \Leftrightarrow 3 x + 5 y - 10 = x + 3 y - 9 \Leftrightarrow 2 y = 1 - 2 x .

Thay vào điều kiện còn lại trong đề bài ta được phương trình

\log_{5}^{2} (x + 5) - (m + 6) \log_{5} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0

(2)
Bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm x, điều này xảy ra khi

Δ = 3 m^{2} + 12 m \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4 \Rightarrow m = 1, m = 2, m = 3, m = 4

(vì m là số nguyên dương).

Đáp án C.