Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}-m \right)=x+1$ có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 0
B. 3
C. 1
D. 2
A. 0
B. 3
C. 1
D. 2
Ta có: PT $\Leftrightarrow {{4}^{x}}-m={{2}^{x+1}}\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{2.2}^{x}}=m$ (Vì ${{2}^{x+1}}>0\ \forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow {{4}^{x}}-m={{2}^{x+1}}>0\ $ ).
Đặt $t={{2}^{x}}\left( t>0 \right)\Rightarrow $ với mỗi giá trị của $t$ có một giá trị của $x$ ta có: $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t=m$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$ ta có: $f'\left( t \right)=2t-2\Leftrightarrow t=1$.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=0,f\left( 1 \right)=-1,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=+\infty $.
Dựa vào BBT suy ra PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\in \left( -1;0 \right)$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ Không có giá trị của $m$.
Đặt $t={{2}^{x}}\left( t>0 \right)\Rightarrow $ với mỗi giá trị của $t$ có một giá trị của $x$ ta có: $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t=m$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$ ta có: $f'\left( t \right)=2t-2\Leftrightarrow t=1$.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=0,f\left( 1 \right)=-1,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=+\infty $.
Dựa vào BBT suy ra PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\in \left( -1;0 \right)$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ Không có giá trị của $m$.
Đáp án A.