Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số...

Đặt $t=\ln x$, trên khoảng $\left( 1,e \right)$ ta có $f\left( x \right)=\ln x$ là hàm đồng biến và $0<\ln x<1$
Khi đó hàm số trở thành $y=\dfrac{t-6}{t-2m}$, với $t\in \left( 0,1 \right)$.
Do đó hàm số $y=\dfrac{\ln x-6}{\ln x-2m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 1,e \right)$ khi hàm số $y=\dfrac{t-6}{t-2m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0,1 \right)$.
Điều kiện để hàm số $y=\dfrac{t-6}{t-2m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0,1 \right)$ là:
$\left\{ \begin{aligned}
& y'=\dfrac{-2m+6}{{{\left( t-2m \right)}^{2}}}>0 \\
& t=2m\notin \left( 0,1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2m+6>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& 2m\le 0 \\
& 2m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<3 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& \dfrac{1}{2}\le m<3 \\
\end{aligned} \right.$
Do $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1,2 \right\}$. Vậy có 2 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán toán.