Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-mx+\ln \left( x-1 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ ?
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Ta có ${y}'=x-m+\dfrac{1}{x-1}$
Để hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-mx+\ln \left( x-1 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ thì ${y}'\ge 0$ với $\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x-1}\ge m$ với $\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Rightarrow m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x-1}$ trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ ta có
$f\left( x \right)=x-1+\dfrac{1}{x-1}+1\ge 2\sqrt{\left( x-1 \right)\dfrac{1}{\left( x-1 \right)}}+1\ge 3\Rightarrow \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=3$
Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Ta có ${y}'=x-m+\dfrac{1}{x-1}$
Để hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-mx+\ln \left( x-1 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ thì ${y}'\ge 0$ với $\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x-1}\ge m$ với $\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Rightarrow m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x-1}$ trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ ta có
$f\left( x \right)=x-1+\dfrac{1}{x-1}+1\ge 2\sqrt{\left( x-1 \right)\dfrac{1}{\left( x-1 \right)}}+1\ge 3\Rightarrow \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=3$
Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.
Đáp án A.