Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{3}{4}{{x}^{4}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\dfrac{1}{4{{x}^{4}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Ta có ${y}'=3{{x}^{3}}-2\left( m-1 \right)x+\dfrac{1}{4{{x}^{8}}}.4{{x}^{3}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)\le 3{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}=f\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
Lại có $f\left( x \right)={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\dfrac{1}{{{x}^{6}}}}=4\Rightarrow 2\left( m-1 \right)\le 4.$
Mà $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3 \right\}.$
$\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)\le 3{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}=f\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
Lại có $f\left( x \right)={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\dfrac{1}{{{x}^{6}}}}=4\Rightarrow 2\left( m-1 \right)\le 4.$
Mà $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3 \right\}.$
Đáp án C.