Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\dfrac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x}$ nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;\dfrac{\pi }{6} \right]$ ?
A. 1
B. 0
C. 2
D. Vô số
A. 1
B. 0
C. 2
D. Vô số
Ta có: $y=\dfrac{m-\sin x}{1-{{\sin }^{2}}x}$
Đặt $t=\sin x\Rightarrow x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{6} \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$ ; ${t}'=\cos x>0\left( \forall x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{6} \right] \right)$
Bài toán trở thành tìm m để hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{m-t}{1-{{t}^{2}}}$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-1+2t\left( m-t \right)}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{t}^{2}}-1+2mt}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}$
Hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]\Leftrightarrow \dfrac{-{{t}^{2}}-1+2mt}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+1>2mt\forall x\in \left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$ $\left( * \right)$
Với $t=0$, $\left( * \right)$ luôn đúng.
Với $t\ne 0$, $\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{2t}>m\left( \forall t\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right] \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)>m$
Lại có: ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{1}{{{t}^{2}}} \right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{t}^{2}}-1}{{{t}^{2}}}<0\left( \forall t\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right] \right)$
Do đó $\underset{\left( 0;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{5}{4}$
Vậy $m<\dfrac{5}{4}$ là giá trị cần tìm. Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow $ có 1 giá trị của tham số m.
Đặt $t=\sin x\Rightarrow x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{6} \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$ ; ${t}'=\cos x>0\left( \forall x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{6} \right] \right)$
Bài toán trở thành tìm m để hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{m-t}{1-{{t}^{2}}}$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-1+2t\left( m-t \right)}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{t}^{2}}-1+2mt}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}$
Hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]\Leftrightarrow \dfrac{-{{t}^{2}}-1+2mt}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+1>2mt\forall x\in \left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$ $\left( * \right)$
Với $t=0$, $\left( * \right)$ luôn đúng.
Với $t\ne 0$, $\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{2t}>m\left( \forall t\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right] \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)>m$
Lại có: ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{1}{{{t}^{2}}} \right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{t}^{2}}-1}{{{t}^{2}}}<0\left( \forall t\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right] \right)$
Do đó $\underset{\left( 0;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{5}{4}$
Vậy $m<\dfrac{5}{4}$ là giá trị cần tìm. Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow $ có 1 giá trị của tham số m.
Đáp án A.