Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $c$ để tồn tại các số thực $a, b>1$ thỏa mãn ${{\log }_{9}}a={{\log }_{12}}b={{\log }_{16}}\dfrac{5b-a}{c}$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $3$.
${{\log }_{9}}a={{\log }_{12}}b={{\log }_{16}}\dfrac{5b-a}{c}=t>0$. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& a={{9}^{t}} \\
& b={{12}^{t}} \\
& \dfrac{5b-a}{c}={{16}^{t}} \\
\end{aligned} \right.(*) $ $ \Rightarrow \dfrac{a}{b}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=u\in \left( 0;1 \right)$
Từ (*) suy ra ${{5.12}^{t}}-{{9}^{t}}=c{{.16}^{t}}$ $\Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}-{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{2t}}=c$
Suy ra $c=-{{u}^{2}}+5u=f\left( u \right)$
Ta có ${f}'\left( u \right)=-2u+5>0 \forall u\in \left( 0;1 \right)$
Bảng biến thiên của $f\left( u \right)$ trên $\left( 0;1 \right)$ là
Để tồn tại $a, b$ thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (*) phải có nghiệm
$\Leftrightarrow c=f\left( u \right)$ có nghiệm $u\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow 0<c<4$.
Do $c\in \mathbb{N}*$ nên $c\in \left\{ 1;2;3 \right\}$
& a={{9}^{t}} \\
& b={{12}^{t}} \\
& \dfrac{5b-a}{c}={{16}^{t}} \\
\end{aligned} \right.(*) $ $ \Rightarrow \dfrac{a}{b}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=u\in \left( 0;1 \right)$
Từ (*) suy ra ${{5.12}^{t}}-{{9}^{t}}=c{{.16}^{t}}$ $\Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}-{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{2t}}=c$
Suy ra $c=-{{u}^{2}}+5u=f\left( u \right)$
Ta có ${f}'\left( u \right)=-2u+5>0 \forall u\in \left( 0;1 \right)$
Bảng biến thiên của $f\left( u \right)$ trên $\left( 0;1 \right)$ là
Để tồn tại $a, b$ thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (*) phải có nghiệm
$\Leftrightarrow c=f\left( u \right)$ có nghiệm $u\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow 0<c<4$.
Do $c\in \mathbb{N}*$ nên $c\in \left\{ 1;2;3 \right\}$
Đáp án D.