Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $a$ sao cho ứng với mỗi $a$...

Ta có
$\begin{aligned}
& {{a}^{{{\log }_{5}}8}}+{{2}^{{{\log }_{5}}\left( 5a \right)}}=\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)\left( 6+2b\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right) \\
& \Leftrightarrow {{8}^{{{\log }_{5}}a}}+{{2.2}^{{{\log }_{5}}a}}=\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)\left( {{\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)}^{2}}+2 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{2}^{{{\log }_{5}}a}} \right)}^{3}}+{{2.2}^{{{\log }_{5}}a}}={{\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)}^{3}}+2\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)\left( 1 \right). \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+2t,\forall t\in \mathbb{R}$.
Có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+2>0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( {{2}^{{{\log }_{5}}a}} \right)=f\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)\Leftrightarrow {{2}^{{{\log }_{5}}a}}=b+\sqrt{4-{{b}^{2}}}\left( 2 \right)$.
Xét hàm số $g\left( b \right)=b+\sqrt{4-{{b}^{2}}},b\in \left[ -2;2 \right]$.
Có ${g}'\left( b \right)=1-\dfrac{b}{\sqrt{4-{{b}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{b}^{2}}}=b\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b\ge 0 \\
& 4-{{b}^{2}}={{b}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b\ge 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& b=-\sqrt{2} \\
& b=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow b=\sqrt{2}$.
Nên $g\left( -2 \right)=-2,g\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2},g\left( 2 \right)=2$.
Suy ra $-2\le g\left( b \right)\le 2\sqrt{2},\forall b\in \left[ -2;2 \right]$.
Khi đó để tồn tại ít nhất một số thực $b$ thì $-2\le {{2}^{{{\log }_{5}}a}}\le 2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\log }_{5}}a\le \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a\le {{5}^{\dfrac{3}{2}}}\approx 11,2$.
Mà $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $a\in \left\{ 1;2;....;11 \right\}$.
Vậy có tất cả $11$ giá trị nguyên dương của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.