Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ để tồn tại cặp...

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{aligned}
& 3x+2y-1>0 \\
& x>0. \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ${{e}^{3x+5y}}-{{e}^{x+3y+1}}=1-2x-2y\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y}}+(3x+5y)={{e}^{x+3y+1}}+(x+3y+1)(1)$
Xét hàm số $f(t)={{e}^{t}}+t$ trên $\mathbb{R}$, vì $f\prime (t)>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $(1)\Leftrightarrow f(3x+5y)=f(x+3y+1)\Leftrightarrow 3x+5y=x+3y+1\Leftrightarrow 2y-1=-2x$.
Thay vào đẳng thức còn lại ta được
$\log _{3}^{2}(3x+2y-1)-(m+6){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+9=0$ $\Leftrightarrow $ $\log _{3}^{2}x-(m+6){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+9=0$.
Đặt $t={{\log }_{3}}x$, ta được phương trình ${{t}^{2}}-(m+6)t+{{m}^{2}}+9=0$
Để tồn tại cặp $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời hai phương trình đã cho thì phương trình phải có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
$\Delta \ge 0$ $\Leftrightarrow {{(m+6)}^{2}}-4({{m}^{2}}+9)\ge 0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+12m\ge 0\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ ta được $m\in \{0;1;2;3;4\}$. Vậy có 5 giá trị của $m$ thỏa mãn.