Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với $\left| m \right|<2021$ để phương trình ${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m$ có nghiệm?
A. 2020.
B. 4041.
C. 0.
D. 2.
A. 2020.
B. 4041.
C. 0.
D. 2.
Ta có
${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}=\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+m\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+2m$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+x+2m\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)}}+{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}+x$ ta có ${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+1>0\forall x\in \mathbb{R}$.
Khi đó ta có $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{2}}\left( x+2m \right) \right)\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)\Rightarrow 2m={{2}^{x}}-x$.
Đặt $g\left( x \right)={{2}^{x}}-x$ ta có: ${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-1$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\dfrac{1}{\ln 2}={{\left( \ln 2 \right)}^{-1}}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}{{\left( \ln 2 \right)}^{-1}}=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)={{x}_{0}}$.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi
$2m\ge g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)\Leftrightarrow 2m\ge 0,91\Leftrightarrow m\ge 0,455$.
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 1\le m<2021 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$. Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn.
${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}=\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+m\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+2m$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+x+2m\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)}}+{{\log }_{2}}\left( x+2m \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}+x$ ta có ${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+1>0\forall x\in \mathbb{R}$.
Khi đó ta có $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{2}}\left( x+2m \right) \right)\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)\Rightarrow 2m={{2}^{x}}-x$.
Đặt $g\left( x \right)={{2}^{x}}-x$ ta có: ${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-1$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\dfrac{1}{\ln 2}={{\left( \ln 2 \right)}^{-1}}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}{{\left( \ln 2 \right)}^{-1}}=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)={{x}_{0}}$.
BBT:
$2m\ge g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)\Leftrightarrow 2m\ge 0,91\Leftrightarrow m\ge 0,455$.
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 1\le m<2021 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$. Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn.
Đáp án A.