Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc $\left[ -10;10 \right]$ để phương trình $\dfrac{{{\log }_{5}}(mx)}{{{\log }_{5}}(x+1)}=2$ có nghiệm duy nhất?
A. 9
B. Vô số
C. 10
D. 15
A. 9
B. Vô số
C. 10
D. 15
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& x\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\dfrac{{{\log }_{5}}(mx)}{{{\log }_{5}}(x+1)}=2\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(mx)={{\log }_{5}}{{(x+1)}^{2}}\Leftrightarrow m=x+\dfrac{1}{x}+2$
Xét hàm số $f(x)=x+\dfrac{1}{x}+2$ trên D, có $f'(x)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}};f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$
Bảng biến thiên hàm số f(x) như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, để m = f (x) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow m<0$.
& x>-1 \\
& x\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\dfrac{{{\log }_{5}}(mx)}{{{\log }_{5}}(x+1)}=2\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(mx)={{\log }_{5}}{{(x+1)}^{2}}\Leftrightarrow m=x+\dfrac{1}{x}+2$
Xét hàm số $f(x)=x+\dfrac{1}{x}+2$ trên D, có $f'(x)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}};f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$
Bảng biến thiên hàm số f(x) như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, để m = f (x) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow m<0$.
Đáp án C.