Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng $\left(...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng

(- 2019; 2019)

để hàm số

y = \sin^{3} x - 3 \cos^{2} x - m \sin x - 1

đồng biến trên đoạn

[0; \frac{π}{2}]

.
A. 2020.
B. 2019.
C. 2028.
D. 2018.

Ta có:

y = \sin^{3} x - 3 \cos^{2} x - m \sin x - 1 = \sin^{3} x + 3 \sin^{2} x - m \sin x - 4

.
Đặt

t = \sin x

, với

x \in [0; \frac{π}{2}] \Rightarrow t \in [0; 1]

.
Bài toán trở thành tìm m để hàm số

y = t^{3} + 3 t^{2} - m t - 4

đồng biến trên

[0; 1]

.
TXĐ:

D = R

.
Ta có:

y^{'} = 3 t^{2} + 6 t - m

.
Để hàm số đồng biến trên

[0; 1]

\begin{aligned} \Rightarrow y^{'} \geq 0 \forall t \in [0; 1] \Rightarrow 3 t^{2} + 6 t - m \geq 0, \forall t \in [0; 1] \Leftrightarrow m \leq 3 t^{2} + 6 t \forall t \in [0; 1] \\ \Rightarrow m \leq f (t) = 3 t^{2} + 6 t \forall t \in [0; 1] \Leftrightarrow m \leq min_{[0; 1]} f (t) \end{aligned}

Xét hàm số

f (t) = 3 t^{2} + 6 t

ta có TXĐ:

f (0) = 0; f (1) = 9 \Rightarrow min_{[0; 1]} f (t) = 0 \Leftrightarrow m \leq 0

.
Kết hợp điều kiện đề bài

\Rightarrow {\begin{aligned} m \in (- 2019; 0] \\ m \in Z \end{aligned} \Rightarrow

Có 2019 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án B.