Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[...

Ta có $y'=3{{\sin }^{2}}x.\cos x+6\sin x.\cos x-m.\cos x=\left( 3{{\sin }^{2}}x+6\sin x-m \right).\cos x$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
$\Leftrightarrow 3{{\sin }^{2}}x+6\sin x-m\ge 0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\left( 1 \right)$
Đặt $t=\sin x,x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right)$
Khi đó (1) $\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+6t-m\ge 0,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\le 3{{t}^{2}}+6t,\forall t\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=3{{t}^{2}}+6t,t\in \left( 0;1 \right)$
Ta có $f'\left( t \right)=6t+6>0\forall t\in \left( 0;1 \right)$
Bảng biến thiên
Vậy $m\le \underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)\Leftrightarrow m\le 0$
Vì $m\in \left[ -50;50 \right]\Rightarrow m\left[ -50;0 \right]$
Vậy có tất cả 51 gái trị nguyên cần tìm.