Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -6;12 \right]$ để trên đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+1-{{m}^{2}}$ có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ?
A. 10.
B. 5.
C. 11.
D. 6.
A. 10.
B. 5.
C. 11.
D. 6.
Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right),\text{ B}\left( -{{x}_{0}};-{{y}_{0}} \right)$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi nó
${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3m\text{x}_{0}^{2}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}_{0}}+1-{{m}^{2}}$.
$-{{y}_{0}}={{\left( -{{x}_{0}} \right)}^{3}}-3m{{\left( -{{x}_{0}} \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+1-{{m}^{2}}$
$=-x_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}-3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}_{0}}+1-{{m}^{2}}$
$\Rightarrow -6m\text{x}_{0}^{2}+2-2{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow 3mx_{0}^{2}=1-{{m}^{2}}$ (1)
Trên đồ thị có 2 điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ $\Leftrightarrow $ (1) có hai nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow 3m\left( 1-{{m}^{2}} \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<m<1 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2 \right\}$.
${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3m\text{x}_{0}^{2}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}_{0}}+1-{{m}^{2}}$.
$-{{y}_{0}}={{\left( -{{x}_{0}} \right)}^{3}}-3m{{\left( -{{x}_{0}} \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+1-{{m}^{2}}$
$=-x_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}-3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}_{0}}+1-{{m}^{2}}$
$\Rightarrow -6m\text{x}_{0}^{2}+2-2{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow 3mx_{0}^{2}=1-{{m}^{2}}$ (1)
Trên đồ thị có 2 điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ $\Leftrightarrow $ (1) có hai nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow 3m\left( 1-{{m}^{2}} \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<m<1 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2 \right\}$.
Đáp án D.