Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -6;12...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[- 6; 12]

để trên đồ thị hàm số

y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 1 - m^{2}

có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ?
A. 10.
B. 5.
C. 11.
D. 6.

Gọi

A (x_{0}; y_{0}), B (- x_{0}; - y_{0})

là hai điểm phân biệt trên đồ thị đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi nó

y_{0} = x_{0}^{3} - 3 m x_{0}^{2} + 3 (m^{2} - 1) x_{0} + 1 - m^{2}

.

- y_{0} = {(- x_{0})}^{3} - 3 m {(- x_{0})}^{2} + 3 (m^{2} - 1) (- x_{0}) + 1 - m^{2}

= - x_{0}^{3} - 3 m x_{0}^{2} - 3 (m^{2} - 1) x_{0} + 1 - m^{2}

\Rightarrow - 6 m x_{0}^{2} + 2 - 2 m^{2} = 0 \Leftrightarrow 3 m x_{0}^{2} = 1 - m^{2}

(1)
Trên đồ thị có 2 điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ

\Leftrightarrow

(1) có hai nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow 3 m (1 - m^{2}) > 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} 0 < m < 1 \\ m < - 1 \end{aligned} \Rightarrow m \in {- 6; - 5; - 4; - 3; - 2}

.

Đáp án D.