Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10 ; 10]$ để hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}+3 m x+2019$ nghịch biến trên khoảng $(1 ; 2) ?$
A. $11.$
B. $20.$
C. $10.$
D. $21.$
A. $11.$
B. $20.$
C. $10.$
D. $21.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$ Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+3m$.
Để hàm số đã cho nghịch biến trên (1;2) thì ${y}'\le 0,\forall x\in (1;2)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow 3 x^{2}-6 x+3 m \leq 0 \forall x \in(1 ; 2) \Leftrightarrow x^{2}-2 x+m \leq 0 \forall x \in(1 ; 2)$
$\Leftrightarrow(x-1)^{2}+m-1 \leq 0 \forall x \in(1 ; 2) \Leftrightarrow 1-m \geq(x-1)^{2} \forall x \in(1 ; 2)$
Hàm số $y=(x-1)^{2}$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ nên cũng đồng biến trên (1;2). $\Rightarrow(1-1)^{2}<(x-1)^{2}<(2-1)^{2} \Leftrightarrow 0<(x-1)^{2}<1$
$\Rightarrow 1-m \geq(x-1)^{2} \forall x \in(1 ; 2) \Leftrightarrow 1-m \geq 1 \Leftrightarrow m \leq 0$
Lại có $m \in[-10 ; 10]$ và $m \in Z$ nên $m \in\{-10 ;-9 ; \ldots ; 0\}$.
Vậy có 11 giá trị của $m$.
Để hàm số đã cho nghịch biến trên (1;2) thì ${y}'\le 0,\forall x\in (1;2)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow 3 x^{2}-6 x+3 m \leq 0 \forall x \in(1 ; 2) \Leftrightarrow x^{2}-2 x+m \leq 0 \forall x \in(1 ; 2)$
$\Leftrightarrow(x-1)^{2}+m-1 \leq 0 \forall x \in(1 ; 2) \Leftrightarrow 1-m \geq(x-1)^{2} \forall x \in(1 ; 2)$
Hàm số $y=(x-1)^{2}$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ nên cũng đồng biến trên (1;2). $\Rightarrow(1-1)^{2}<(x-1)^{2}<(2-1)^{2} \Leftrightarrow 0<(x-1)^{2}<1$
$\Rightarrow 1-m \geq(x-1)^{2} \forall x \in(1 ; 2) \Leftrightarrow 1-m \geq 1 \Leftrightarrow m \leq 0$
Lại có $m \in[-10 ; 10]$ và $m \in Z$ nên $m \in\{-10 ;-9 ; \ldots ; 0\}$.
Vậy có 11 giá trị của $m$.
Đáp án A.