Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ $\left( \left| m...

ĐK: $x+2m>0$
Ta có ${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+2m$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}=t+2m \\
& {{2}^{t}}=x+2m \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{t}}+t $ $ \left( 1 \right)$
Do hàm số $f\left( u \right)={{2}^{u}}+u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow t=x$. Khi đó:
${{2}^{x}}=x+2m\Leftrightarrow 2m={{2}^{x}}-x$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{2}^{x}}-x$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=$ ${{2}^{x}}\ln 2-1=0$ $\Leftrightarrow x=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$.
Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $2m\ge g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)}{2}$ $\approx 0,457$ (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì $x+2m={{2}^{x}}>0$ )
Do $m$ nguyên và $\left| m \right|<10$, nên $m\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$.