Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -5;15 \right)$ để phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)\ln \sqrt{2{{x}^{2}}+3}=0$ có nghiệm?
A. 20
B. 19
C. 18
D. 17
A. 20
B. 19
C. 18
D. 17
Cách giải:
Ta có
$\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)\ln \sqrt{2{{x}^{2}}+3}=0$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)\ln \left( 2{{x}^{2}}+3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 2{{x}^{2}}+2 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)\ln \left( 2{{x}^{2}}+3 \right)=0\left( * \right)$
TH1:
$\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x.\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{4}{{m}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x+\dfrac{1}{2}m \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{m}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+\dfrac{1}{2}m=0 \\
& \dfrac{3}{4}{{m}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=m=0$
Thay $x=m=0$ ta có: $\ln 1=0$ (luôn đúng) $\Rightarrow m=0$ thỏa mãn.
TH2: $\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)\ne 0$
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{2{{x}^{2}}+2}{\ln \left( 2{{x}^{2}}+3 \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}}{\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{\ln \left( t+1 \right)}\left( t\ge 2 \right),$ dễ dàng chứng minh được $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 2;+\infty \right).$
Do đó $2{{x}^{2}}+2={{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}+2=0.$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}+4{{m}^{2}}-8\ge 0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-8\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \sqrt{\dfrac{8}{5}} \\
& m\le -\sqrt{\dfrac{8}{5}} \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp điều kiện đề bài: $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -5;15 \right) \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;2;3;4;5;...;14 \right\}.$
Kết hợp 2 TH ta có $m\in \left\{ -4;-3;-2;0;1;2;3;4;5;...;14 \right\}.$
Vậy có 17 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Ta có
$\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)\ln \sqrt{2{{x}^{2}}+3}=0$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)\ln \left( 2{{x}^{2}}+3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 2{{x}^{2}}+2 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} \right)\ln \left( 2{{x}^{2}}+3 \right)=0\left( * \right)$
TH1:
$\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x.\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{4}{{m}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x+\dfrac{1}{2}m \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{m}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+\dfrac{1}{2}m=0 \\
& \dfrac{3}{4}{{m}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=m=0$
Thay $x=m=0$ ta có: $\ln 1=0$ (luôn đúng) $\Rightarrow m=0$ thỏa mãn.
TH2: $\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)\ne 0$
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{2{{x}^{2}}+2}{\ln \left( 2{{x}^{2}}+3 \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}}{\ln \left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}+1 \right)}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{\ln \left( t+1 \right)}\left( t\ge 2 \right),$ dễ dàng chứng minh được $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 2;+\infty \right).$
Do đó $2{{x}^{2}}+2={{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}+2=0.$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}+4{{m}^{2}}-8\ge 0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-8\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \sqrt{\dfrac{8}{5}} \\
& m\le -\sqrt{\dfrac{8}{5}} \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp điều kiện đề bài: $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -5;15 \right) \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;2;3;4;5;...;14 \right\}.$
Kết hợp 2 TH ta có $m\in \left\{ -4;-3;-2;0;1;2;3;4;5;...;14 \right\}.$
Vậy có 17 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Đáp án D.